Sistemas
de numeración
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos
y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración
actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo
tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
- · Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos
habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición
que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una
potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos
del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito
menos uno, contando desde la derecha.
En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:
5
centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*102
+ 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
500
+ 20 + 8 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es
análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán
negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del
separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:
8
millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8*103
+ 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:
8000
+ 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
Sistema
de numeración binario.
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos
dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto
valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de
una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito
menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la
base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para
representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011
tiene un valor que se calcula así:
1*23
+ 0*22 + 1*21 + 1*20, es decir:
8
+ 0 + 2 + 1 = 11
Y para expresar que ambas cifras describen la misma
cantidad lo escribimos así:
10112
= 1110
- · Conversión entre números decimales
y binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es
muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los
restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el
número 7710 haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos
siguientes:
77: 2 = 38 Resto: 1
38: 2 = 19 Resto: 0
19: 2 = 9 Resto: 1
9: 2 = 4 Resto: 1
4: 2 = 2 Resto: 0
2: 2 = 1 Resto: 0
1: 2 = 0 Resto: 1
Y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la
cifra binaria:
7710
= 10011012
- · Conversión de binario a decimal
El proceso para convertir un número del sistema
binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número,
teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una
potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se
incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para convertir el número binario
10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1*26
+ 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83
10100112 = 8310
Sistema
de numeración octal
El inconveniente de la codificación binaria es que
la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se
utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el
sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil
convertir un número binario a octal o a hexadecimal.
En el sistema de numeración octal, los números se
representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada
dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que
ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las
potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que
se calcula así:
2*83
+ 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738
= 149610
- · Conversión de un número decimal a
octal
La conversión de un número decimal a octal se hace
con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario,
mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden
inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos
que hacer las siguientes divisiones:
122:
8 = 15 Resto: 2
15:
8 = 1 Resto: 7
1:
8 = 0 Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso
tendremos la cifra octal:
12210
= 1728
- · Conversión octal a decimal
La conversión de un número octal a decimal es
igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal.
Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el
valor de cada dígito:
2*82
+ 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910
2378
= 15910
Sistema
de numeración hexadecimal
En el sistema hexadecimal los números se representan
con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se
utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades
decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos
mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos
depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de
base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número
hexadecimal 1A3F16:
1A3F16
= 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096
+ 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16
= 671910
